“看上去，好像人们以为，概念在个别的心灵中形成就像树叶长在树上一样。而且人们认为，了解概念的形成，力图从人的心灵本性对概念进行心理学的解释，以此就能够认识概念的本质。但是这种观点使一切都成为主观的，如果跟着它走到底，就取消了真。”(G.弗雷格,1998:6)弗雷格的这种偏见是完全错误的，他的错误与柏拉图的错误本质是一样的。

抽象的目的是简单化。具体的事物很复杂，很难进行逻辑处理。简单化之后便于逻辑处理，非常好用。能做逻辑处理之后，才能玩复杂的思想游戏。每一门学科都以抽象的概念为基础，但多数学科的概念抽象之后保留的属性比较多，所以不容易分析研究。而数字和点、线、面、体是抽象之后保留很少属性的结果，比其他学科的概念简单，更容易进行分析研究，于是在古代就玩出了丰富多彩的思想游戏。

5.数学与几何

5.1数字是抽象的逻辑构造

1只鸡加1条狗等于什么？是等于两只鸡还是等于两条狗呢？显然都不是，但我们可以说1加1等于2，因为我们在做这种运算的时候首先进行了抽象。我们所说的1是什么？是对1只鸡、1条狗、1个人、1个地球等事物进行抽象之后产生的逻辑构造。当我需要把1只鸡和1条狗相加的时候，必须先抽象掉它们的个性，保留它们的共性，例如它们都是小动物，这样就可以相加了。

弗雷格说：“人们不把如何形成一个表象的描述看作一条定义。”“不要以为心理学能对建立算术有任何帮助。”(G.弗雷格,1998:8)弗雷格不知道很多最基本的概念都必须通过建立联想来定义。例如，小孩不知道什么叫1，大人就对他说：“孩子，你看，这个数字叫1。什么是1呢，这里有一支笔，一块橡皮，一把椅子，这些都是1。明白了吗？”小朋友说：“我明白了。”那什么叫“明白了”，就是说他在自己的头脑中建立了一个联想，下次看见1就能想到一支笔，一块橡皮和一把椅子。1这个概念就是这样定义的。弗雷格在《算术基础》中用了24页的篇幅想给1下定义(G.弗雷格,1998:78-102)，最后也没说清楚。

弗雷格说：“算术与感觉根本没有关系。同样，算术与从早先感觉印象痕迹汇集起来的内在图像也没有关系。所有这些形态所具有的这种不稳定性和不确定性与数学概念和对象的确定性和明确性形成强烈对照。”(G.弗雷格,1998:5)弗雷格不懂得主观抽象的产物可以是确定和稳定的。弗雷格认为要把心理学的东西与逻辑的东西，主观的东西和客观的东西明确区别开来(G.弗雷格,1998:8)，他认为这是逻辑学的一条重要原则。后来的西方语言哲学家都把弗雷格提出的原则奉为圭臬。

抽象的过程只能在主观世界里进行，客观世界里不存在抽象的数字1，只有具体的1个人、1本书、1张桌子等。客观世界里没有两片相同的树叶，1永远不等于1。在抽象的主观世界中，1可以等于1。因为我们在数学当中每次提到1，都说的是不包含具体属性的逻辑构造。

数学里研究的自然数是人想象出来的逻辑构造，其他数字也都是逻辑构造，整数、分数、小数，还有实数、虚数等，都是人创造的逻辑构造。

国际象棋是一种游戏，有棋盘，有棋子。棋子当中有车，马，士卒，国王和王后等。这些棋子是假的，是对真的车，马等事物的仿真。数字和点、线、面、体就像这些棋子一样是高度抽象的概念。国际象棋的游戏规则是对客观规则的仿真，但这些仿真与真实的规则相距甚远，可以说完全是创新。在这些创新规则之下，可以玩出丰富多样的游戏。数学和几何就像国际象棋一样，使用创新的规则玩思想游戏，而不是使用客观的规则。哲学也像数学和几何一样是一种思想游戏。

数学和几何的思想游戏可以得到很多定理和结论，这些定理和结论可以对现实生活产生巨大的指导作用，就像长期玩国际象棋的人可以从国际象棋当中感悟很多人生的哲理。

5.2几何形状是简单有用但不真实的逻辑构造

几何学研究的点没有大小，线没有宽度，面没有厚度，体都是规则的。在客观世界里所有的点都有大小，所有的线都有宽度，所有的面都有厚度，所有的体都不规则。所以几何学所研究的点、线、面、体都不是客观存在的，都是人想象出来的符号和逻辑构造。

人类创立逻辑构造的目的是为了简单化。所有的具体事物都是无限复杂的，主观事物简单得多。人在创立逻辑构造的时候，总有一个从简单到复杂的过程，一开始创立的逻辑构造都是非常简单的。几何形体是简单有用但不真实的逻辑构造。

例如，一个立方体，要计算表面积，等于边长的平方乘以6，非常简单，非常精确。但是一个不规则的石头，要计算它的表面积，你算的出来吗？客观世界里没有真正的立方体，一个规则的立方体是人类头脑中创造出来的逻辑构造，只能存在于主观世界里。客观世界里的立方体都有各种凹凸不平或缺损。人类创建规则的立方体的目的就是简单化，是对真实的立方体的抽象。

有些真实的东西有用，有些真实的东西没用，我们想要的都是有用的东西。例如，某个旅游景点要在一块巨石表面刷漆，需要计算石头的表面积，然后决定买几桶漆。这时我并不需要真实准确的数值，只要粗略地估计一下就行。所以我可以把石头的不规则形状简单化，变成规则的多面体，这样就可以比较容易地计算了。这个规则的多面体的表面积是一个简单有用但不真实的数字。

5.3数学几何是对逻辑构造的系统化

数字和点、线、面、体都不是客观世界里的东西，都完全是人创造的符号和逻辑构造。人们对这些逻辑构造不断进行逻辑建构和推演，让它们复杂化和有序化，形成了数学和几何等学科，这些学科的内容都是这些主观的逻辑构造的系统化内容。

人类一开始创造符号的目的是仿真，模仿真实的事物。后来符号逐渐发展，符号本身构成一个复杂有序的系统。人的思想游戏对这些符号进行加工改造的过程往往与当初被模仿的外界事物没有关系了。数学和几何就是这样的符号系统。点、线、面、体开始还能找到外界对应物，但它们构成的几何命题很多已经与外界事物毫无关系了。自然数可以说是对外界事物数量的描述，但小数、分数、无理数、集合、微积分等数学内容与外界事物的关系越来越小了。

由于数学、几何等学科在古代就玩出了复杂的思想游戏，而且这些思想游戏的产品对实践具有重大的意义，是全部人类文化和文明的基础，所以这些抽象的概念比具体的事物重要得多。从这个意义上说，柏拉图把理念推到至高无上的地位是有道理的，柏拉图和客观唯心主义在哲学史上享有崇高的地位是有道理的。我们今天应该正确地评价理念论的价值和缺陷，在此基础上建立以概念取代理念，以辩证二元主义取代客观唯心主义的哲学新理论。

这些关于概念、仿真和逻辑构造的理论与西方语言哲学有相似之处，同时有本质差别。语言哲学的本体论是唯心主义，它们没有理解逻辑构造和概念的本质，对于符号没有准确的定义，对数学和几何等符号系统缺少正确的认识。