公孙龙还说，鸡有三足，因为他把不同抽象程度的足放在一起了。一只鸡的脚包括左脚和右脚，对这两只脚进行抽象之后产生一个“脚”的概念。这个概念既不是左脚，也不是右脚，既包括左脚也包括右脚。而且是所有鸡的脚，有大有小，有各种颜色，既是一只脚，也是无数只脚。这两只脚当然不应该和那只抽象的脚相加。

一只有两只脚的鸡也可以是一个抽象的概念，在主观世界里可以和鸡的一只脚并列存在。各种不同抽象程度的概念都可以在主观世界里并列存在，但对它们进行相加相减等思想游戏的结果不一定有意义。

4.4概念不是客观的理念

产生概念的过程中针对某一类事物进行抽象，忽视了一部分属性。对于某一个具体的鸟如麻雀的仿真也忽视了一部分属性。对具体的麻雀的仿真有客观对应物，于是柏拉图就认为抽象的概念也有客观的对应物。柏拉图认为理念是客观世界里真实存在的东西，而不是人造的逻辑构造。柏拉图的理念论已经遭到深入的批判，现在大家已经公认理念在客观世界里不存在，就像上帝在客观世界里不存在一样，而概念是真实存在的。这种真实是作为逻辑构造的真实，是主观世界当中真实存在。概念和理念在客观世界里都不存在，这并不说明概念不重要。相反，概念非常重要，是所有科学和哲学的基础。概念的丰富和发展往往代表了科学和哲学的发展水平。由于在主观世界里理念和概念是一样的，所以柏拉图的理念论对于哲学的发展具有重要的价值。

弗雷格所说的概念就是柏拉图所说的理念。弗雷格说：“我们达到以下结论：数既不像密尔的小石子堆和姜汁糕点那样是空间的和物理的，也不像表象那样是主观的，而是不可感觉的和客观的。客观性的基础绝不在作为我们心灵作用的完全主观的感觉印象之中。在我看来，客观性的基础只能在理性之中。”(G.弗雷格,1998:45)弗雷格认为概念与心理没有关系。他说：“看上去，好像人们以为，概念在个别的心灵中形成就像树叶长在树上一样。而且人们认为，了解概念的形成，力图从人的心灵本性对概念进行心理学的解释，以此就能够认识概念的本质。但是这种观点使一切都成为主观的，如果跟着它走到底，就取消了真。”(G.弗雷格,1998:6)弗雷格的这种偏见是完全错误的，他的错误与柏拉图的错误本质是一样的。

抽象的目的是简单化。具体的事物很复杂，很难进行逻辑处理。简单化之后便于逻辑处理，非常好用。能做逻辑处理之后，才能玩复杂的思想游戏。每一门学科都以抽象的概念为基础，但多数学科的概念抽象之后保留的属性比较多，所以不容易分析研究。而数字和点、线、面、体是抽象之后保留很少属性的结果，比其他学科的概念简单，更容易进行分析研究，于是在古代就玩出了丰富多彩的思想游戏。

5.数学与几何

5.1数字是抽象的逻辑构造

1只鸡加1条狗等于什么？是等于两只鸡还是等于两条狗呢？显然都不是，但我们可以说1加1等于2，因为我们在做这种运算的时候首先进行了抽象。我们所说的1是什么？是对1只鸡、1条狗、1个人、1个地球等事物进行抽象之后产生的逻辑构造。当我需要把1只鸡和1条狗相加的时候，必须先抽象掉它们的个性，保留它们的共性，例如它们都是小动物，这样就可以相加了。

弗雷格说：“人们不把如何形成一个表象的描述看作一条定义。”“不要以为心理学能对建立算术有任何帮助。”(G.弗雷格,1998:8)弗雷格不知道很多最基本的概念都必须通过建立联想来定义。例如，小孩不知道什么叫1，大人就对他说：“孩子，你看，这个数字叫1。什么是1呢，这里有一支笔，一块橡皮，一把椅子，这些都是1。明白了吗？”小朋友说：“我明白了。”那什么叫“明白了”，就是说他在自己的头脑中建立了一个联想，下次看见1就能想到一支笔，一块橡皮和一把椅子。1这个概念就是这样定义的。弗雷格在《算术基础》中用了24页的篇幅想给1下定义(G.弗雷格,1998:78-102)，最后也没说清楚。

弗雷格说：“算术与感觉根本没有关系。同样，算术与从早先感觉印象痕迹汇集起来的内在图像也没有关系。所有这些形态所具有的这种不稳定性和不确定性与数学概念和对象的确定性和明确性形成强烈对照。”(G.弗雷格,1998:5)弗雷格不懂得主观抽象的产物可以是确定和稳定的。弗雷格认为要把心理学的东西与逻辑的东西，主观的东西和客观的东西明确区别开来(G.弗雷格,1998:8)，他认为这是逻辑学的一条重要原则。后来的西方语言哲学家都把弗雷格提出的原则奉为圭臬。

抽象的过程只能在主观世界里进行，客观世界里不存在抽象的数字1，只有具体的1个人、1本书、1张桌子等。客观世界里没有两片相同的树叶，1永远不等于1。在抽象的主观世界中，1可以等于1。因为我们在数学当中每次提到1，都说的是不包含具体属性的逻辑构造。

数学里研究的自然数是人想象出来的逻辑构造，其他数字也都是逻辑构造，整数、分数、小数，还有实数、虚数等，都是人创造的逻辑构造。

国际象棋是一种游戏，有棋盘，有棋子。棋子当中有车，马，士卒，国王和王后等。这些棋子是假的，是对真的车，马等事物的仿真。数字和点、线、面、体就像这些棋子一样是高度抽象的概念。国际象棋的游戏规则是对客观规则的仿真，但这些仿真与真实的规则相距甚远，可以说完全是创新。在这些创新规则之下，可以玩出丰富多样的游戏。数学和几何就像国际象棋一样，使用创新的规则玩思想游戏，而不是使用客观的规则。哲学也像数学和几何一样是一种思想游戏。